Raja-arvo
limx→a f(x) = L
Funktion arvot f(x) saadaan miten lähelle tahansa lukua L, kun x valitaan riittävän läheltä kohtaa a. Funktion arvolla kohdassa a ei ole merkitystä, eikä funktion tarvitse olla siinä edes määritelty.
DerivaattaRaja-arvoIntegraaliFunktiotYhtälöt ja epäyhtälötNapakoordinaatit
Derivaatta on funktion hetkellinen muutosnopeus. Se kertoo, kuinka jyrkästi kuvaaja nousee tai laskee tietyssä kohdassa, eli graafisesti se on käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin.
Raja-arvo on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun x lähestyy kohtaa a. Se kertoo, mihin korkeuteen kuvaaja on menossa, vaikka funktiota ei olisi määritelty kohdassa a, eli graafisesti se on korkeus, jota kuvaaja lähestyy molemmilta puolilta.
Määrätty integraali on käyrän ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala, kun x-akselin alapuolinen osa lasketaan negatiivisena. Sitä arvioidaan suorakulmioilla, ja kun niitä on yhä enemmän, arvio lähestyy integraalia. Integraalifunktion avulla integraali lasketaan tarkasti.
Yhtälö on väite, että kaksi lauseketta on yhtä suuri. Sen ratkaisu on luku, jolla väite pitää paikkansa. Kuvaajasta ratkaisun näkee: kun vasen puoli f(x) ja oikea puoli g(x) piirretään samaan kuvaan, ratkaisut ovat kuvaajien leikkauspisteiden x-koordinaatit. Epäyhtälössä kysytään, missä toinen puoli on suurempi, ja ratkaisu on joukko lukuja. Laskut-osassa yhtälö ratkaistaan vaihe vaiheelta ja ratkaisut tarkistetaan.
Napakoordinaatit kertovat pisteen paikan kahdella luvulla: kulmalla θ ja etäisyydellä eli säteellä r origosta. Käyrä r(θ) syntyy, kun säde riippuu kulmasta: vakiosäde on ympyrä, kasvava säde spiraali ja aaltoileva säde ruusu. Kuvaajasta näkee, miten kulma ja säde yhdessä piirtävät käyrän, ja Laskut-osassa piste muunnetaan karteesisiin koordinaatteihin.
Funktio liittää jokaiseen muuttujan arvoon x täsmälleen yhden arvon f(x). Kuvaajasta näkee, missä funktio on nolla, positiivinen tai negatiivinen, missä se kasvaa ja missä sillä on suurin tai pienin arvo. Kertoimet a, b, c ja d venyttävät ja siirtävät kuvaajaa.
Sähkötekniikka
Tasavirtapiirit
Ohmin laista ja tehosta kytkentöihin ja Kirchhoffin lakeihin. Jokaisessa kohdassa on simulaattori, johon voit kirjoittaa omat lukusi, sekä esimerkki vaihe vaiheelta ja harjoituksia, jotka arvotaan joka kerta uudelleen.
Sähkötekniikka
Sähkökenttä ja kondensaattori
Varauksista ja sähkökentästä jännitteeseen ja kondensaattoreihin. Jokaisessa kohdassa on simulaattori, johon voit kirjoittaa omat lukusi, sekä esimerkki vaihe vaiheelta ja harjoituksia, jotka arvotaan joka kerta uudelleen.
Sähkötekniikka
Magnetismi ja induktio
Magneettisesta voimasta virran magneettikenttään ja sähkömagneettiseen induktioon. Jokaisessa kohdassa on simulaattori, johon voit kirjoittaa omat lukusi, sekä esimerkki vaihe vaiheelta ja harjoituksia, jotka arvotaan joka kerta uudelleen.
Sähkötekniikka
Värähtelyt ja vaihtovirta
Värähtelystä ja resonanssista aaltoihin, sähkömagneettiseen säteilyyn ja vaihtovirtapiireihin. Jokaisessa kohdassa on simulaattori, johon voit kirjoittaa omat lukusi, sekä esimerkki vaihe vaiheelta ja harjoituksia, jotka arvotaan joka kerta uudelleen.
Matematiikka
Tehtäväsimulaattori
Ratkaise derivaatan ja raja-arvon tehtäviä vaihe kerrallaan. Laskutehtävässä on valmis lauseke, sanallisessa tehtävässä käytännön tilanne sähkötekniikasta. Jokaisessa vaiheessa saat tarvittaessa vihjeen, esimerkiksi mitä laskusääntöä käytetään, ja tehtävän kuvaajan saat näkyviin painikkeesta. Tehtävät alkavat perusteista ja vaikeutuvat taso tasolta.
Yleistä tietoa
Matematiikan sanasto
Tärkeimmät matematiikan käsitteet ja merkinnät. Jokaisella rivillä on ensin symboli, sitten nimi, arvo tai esimerkki ja lyhyt selitys. Hae sanaa tai symbolia, tai siirry ryhmään linkeistä.
Yleistä tietoa
Tärkeimmät kaavat
Geometrian, trigonometrian, yhtälöiden, prosenttien, derivaatan ja fysiikan peruskaavat. Rivillä on kaava, sen suureet ja usein esimerkki. Potenssien, murtolukujen ja logaritmien säännöt ovat sivulla Tärkeimmät laskusäännöt.
Yleistä tietoa
Tärkeimmät laskusäännöt
Laskujärjestys, laskulait, etumerkit, murtoluvut, potenssit, sulkulausekkeet ja logaritmit tiiviisti.
Yleistä tietoa
Matematiikan osa-alueet
Matematiikan pääalat ja niiden osa-alueet: mitä kukin ala tutkii. Rivin linkki vie siihen kohtaan sovellusta, jossa osa-aluetta voi harjoitella, tutkia tai lukea lisää.
Yleistä tietoa
Matemaattiset mallit
Matemaattinen malli kuvaa todellista tilannetta matematiikan kielellä. Mallin rakennusosat (lauseke, yhtälö, epäyhtälö, funktio, yhtälöpari ja algoritmi) selitetään saman taksiesimerkin avulla, jotta niiden erot näkyvät. Lopussa ovat tavallisimmat mallityypit.
Sähkötekniikka
Sähkötekniikan suureet
Yleisimmät sähkötekniikan suureet: tunnus, yksikkö ja tärkein kaava aiheittain omissa taulukoissaan. Vie hiiri suureen nimen päälle (tai napauta sitä), niin näet selityksen ja esimerkin.
Sähkötekniikka
Sähkötekniikan lait
Sähkötekniikan tärkeimmät lait ja niiden kaavat: virtapiirit, sähkökenttä, magneettikenttä ja induktio. Vie hiiri lain nimen päälle (tai napauta sitä), niin näet tarkemman selityksen ja esimerkin.
Tutkittava funktioYhtälöTutkittava käyrä
EsimerkkifunktiotEsimerkkiyhtälötEsimerkkikäyrät
Funktion derivaattaFunktion raja-arvoFunktion integraalifunktioFunktion lausekeYhtälöKäyrän yhtälö
lim
Rajat
Muunnos y = a · f(b(x − c)) + d
Parametrit a, b, c, k (kirjoita lausekkeeseen kirjaimina)
Näytä kuvaajassa
funktio f(x)
käyrä r(θ)
lähestyvät pisteet x = a ± hlähestyvä piste
raja-arvoraja-arvo eli vaakasuora asymptootti
oikea puoli g(x)
Zoomaa pitämällä Ctrl-näppäintä pohjassa ja rullaamalla
Vedä pistettä Prajoja a ja bkohtaa alähestyvää pistettä tai napauta kuvaajaa.
Nipistä kahdella sormella zoomataksesi.
Vedä pistettä P tai Q suoraan kuvaajassa. Tyhjästä kohdasta vetämällä näkymä siirtyy, ja Ctrl + rulla tai painikkeet zoomaavat (koko näytön tilassa pelkkä rulla). Tarkan arvon voit kirjoittaa napsauttamalla a:n tai h:n arvoa. Vedä pistettä P tai Q, tai napauta kuvaajaa, niin P siirtyy napautuskohtaan. Yhdellä sormella vetäminen siirtää näkymää ja kahden sormen nipistys zoomaa. Tarkan arvon voit kirjoittaa napauttamalla a:n arvoa kuvaajan alla. Pystysuora katkoviiva yhdistää kohdan a kaikissa kuvissa. Pisteviivalla alleviivatun lukeman selitys aukeaa, kun viet hiiren sen päälle tai napsautat sitä. Pisteviivalla alleviivatun lukeman selitys aukeaa napauttamalla.
Vedä ylärajaa b tai alarajaa a suoraan kuvaajassa (oranssit pisteet x-akselilla). Liukusäädin muuttaa osavälien määrää n, ja n → ∞ kasvattaa sitä, kunnes suorakulmiot täyttävät alueen. Tarkan rajan voit kirjoittaa napsauttamalla sen arvoa. Pisteviivalla alleviivatun lukeman selitys aukeaa, kun viet hiiren sen päälle tai napsautat sitä. Vedä rajoja a ja b (oranssit pisteet x-akselilla), tai napauta kuvaajaa, niin yläraja siirtyy siihen. Kuvaajan alla oleva säädin muuttaa osavälien määrää n. Tarkan rajan voit kirjoittaa napauttamalla sen arvoa. Pisteviivalla alleviivatun lukeman selitys aukeaa napauttamalla.
Vedä pistettä P tai napsauta kuvaajaa, niin näet funktion arvon siinä kohdassa. Kertoimet a, b, c ja d muuttavat kuvaajaa, ja ▶-painike liikuttaa kerrointa edestakaisin. Summan tai yhdistetyn funktion voit kirjoittaa suoraan funktiokenttään, esim. x^2 + sin(x).
Vedä pistettä P tai napauta kuvaajaa, niin näet funktion arvon siinä kohdassa. Kertoimet a, b, c ja d muuttavat kuvaajaa, ja ▶-painike liikuttaa kerrointa edestakaisin.
Yhtälön f(x) = g(x) ratkaisut ovat vasemman ja oikean puolen kuvaajien leikkauspisteiden x-koordinaatit. Vedä pistettä P tai napsauta kuvaajaa, niin näet, ovatko puolet kohdassa yhtä suuret. Vaihda merkki arvoon <, ≤, > tai ≥, niin ratkaisujoukko väritetään x-akselille. Koko yhtälön voit kirjoittaa myös ylimpään kenttään. Yhtälön ratkaisut ovat kuvaajien leikkauspisteiden x-koordinaatit. Vedä pistettä P tai napauta kuvaajaa, niin näet, ovatko puolet kohdassa yhtä suuret. Merkki <, ≤, > tai ≥ muuttaa yhtälön epäyhtälöksi, jonka ratkaisujoukko väritetään.
Piste P on käyrällä kulmassa θ: säde r mitataan origosta kulman suuntaan. Vedä pistettä tai napsauta kuvaajaa, niin kulma seuraa osoitettua suuntaa. Muuta parametreja a, b, c ja k liukusäätimillä tai kirjoita oma lauseke, esim. a(1 + cos(θ)). Alla oleva kuvaaja näyttää saman käyrän kulman funktiona.
Piste P on käyrällä kulmassa θ. Vedä pistettä tai napauta kuvaajaa, niin kulma seuraa osoitettua suuntaa. Muuta parametreja liukusäätimillä tai kirjoita oma lauseke, esim. a(1 + cos(θ)).
Paina x → ∞, niin lähestyvä piste kulkee yhä kauemmas, ja näkymä loitontuu niin, että se pysyy näkyvissä. Kun käyrä painuu kohti katkoviivaa, raja-arvo on katkoviivan korkeus. Pistettä voi myös vetää, ja arvotaulukon luvut siirtävät sen kohtaan 10, 100, … ⟲-painike palauttaa näkymän. Vedä kohtaa a tai lähestyviä pisteitä suoraan kuvaajassa. Tyhjästä kohdasta vetämällä näkymä siirtyy, ja Ctrl + rulla tai painikkeet zoomaavat (koko näytön tilassa pelkkä rulla). Tarkan kohdan voit kirjoittaa lim-merkinnän alle. Pisteviivalla alleviivatun lukeman selitys aukeaa, kun viet hiiren sen päälle tai napsautat sitä. Vedä kohtaa a tai lähestyviä pisteitä, tai napauta kuvaajaa, niin kohta a siirtyy napautuskohtaan. Yhdellä sormella vetäminen siirtää näkymää ja kahden sormen nipistys zoomaa. Tarkan kohdan voit kirjoittaa Laskut-välilehdellä lim-merkinnän alle. Pisteviivalla alleviivatun lukeman selitys aukeaa napauttamalla.
Kulkukaavio
Derivaatan merkki kertoo, kasvaako vai väheneekö funktio.
DerivaattafunktioIntegraalifunktioErotusfunktioSäde kulman funktiona
Sama käyrä karteesisessa koordinaatistossa: vaaka-akselilla on kulma θ ja pystyakselilla säde r. Napakäyrän pisteet vastaavat tämän kuvaajan pisteitä, ja kun r < 0, piste on napakuvassa kulmaa vastapäätä.
Kun kaikki siirretään vasemmalle, yhtälöstä tulee f(x) − g(x) = 0. Erotusfunktion nollakohdat ovat yhtälön ratkaisut, ja epäyhtälössä katsotaan, missä erotus on positiivinen tai negatiivinen.
Kertynyt pinta-ala alarajasta a kohtaan x. Se kasvaa siellä, missä f(x) > 0, ja vähenee, missä f(x) < 0, eli F′(x) = f(x).
Muistilista
Toispuoleiset raja-arvot
- limx→a− f(x) vasemmalta, x < a
- limx→a+ f(x) oikealta, x > a
Raja-arvo on olemassa vain, jos toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtä suuret. Esimerkiksi |x|/x lähestyy vasemmalta lukua −1 ja oikealta lukua 1, joten raja-arvoa kohdassa 0 ei ole.
Jatkuvuus
limx→a f(x) = f(a)
Funktio on jatkuva kohdassa a, jos sen raja-arvo on sama kuin funktion arvo. Polynomit ja rationaalifunktiot sekä juuri-, eksponentti-, logaritmi- ja trigonometriset funktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan, joten niiden raja-arvo saadaan sijoittamalla.
Raja-arvon laskeminen
- Sijoita x = a. Jos saat luvun, se on raja-arvo.
- Muoto 0/0: jaa tekijöihin ja supista, tai lavenna liittolausekkeella.
- Muoto c/0, kun c ≠ 0: arvot kasvavat tai vähenevät rajatta. Nimittäjän merkki kohdan a eri puolilla ratkaisee, onko tulos ∞, −∞ vai ei kumpikaan.
- Itseisarvo: laske vasemman- ja oikeanpuoleinen raja-arvo erikseen.
Raja-arvo äärettömyydessä
limx→∞ cxk = 0, kun k > 0
Kun x kasvaa rajatta ja arvot lähestyvät lukua L, suora y = L on kuvaajan vaakasuora asymptootti. Murtolausekkeessa osoittaja ja nimittäjä jaetaan nimittäjän korkeimmalla potenssilla. Silloin asteet ratkaisevat:
- → 0 osoittajan aste on pienempi
- → a/b asteet ovat samat (a ja b korkeimpien termien kertoimet)
- → ±∞ osoittajan aste on suurempi, eikä vaakasuoraa asymptoottia ole
Määrätty integraali
∫baf(x) dx
Käyrän y = f(x) ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala väliltä a … b, kun x-akselin alapuolinen osa lasketaan negatiivisena. Luvut a ja b ovat integroimisvälin ala- ja yläraja.
Ala- ja yläsumma
An ≤ ∫baf(x) dx ≤ Yn
Väli jaetaan n osaväliin, joiden leveys on Δx = (b − a)/n. Alasummassa suorakulmion korkeus on funktion pienin arvo osavälillä, yläsummassa suurin. Kun n kasvaa rajatta, molemmat summat lähestyvät integraalia.
Integraalifunktio
∫ f(x) dx = F(x) + C, kun F′(x) = f(x)
Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: integraalifunktion derivaatta on alkuperäinen funktio. Vakio C voi olla mikä tahansa luku, koska vakion derivaatta on nolla. Tuloksen voi aina tarkistaa derivoimalla.
Analyysin peruslause
∫baf(x) dx = F(b) − F(a)
Kun f on jatkuva välillä, integraali lasketaan sijoittamalla rajat mihin tahansa integraalifunktioon. Merkintä [F(x)]ab tarkoittaa samaa erotusta.
Integroimissääntöjä
| ∫ xn dx = xn+1/(n + 1) + C, n ≠ −1 |
| ∫ 1/x dx = ln |x| + C |
| ∫ ex dx = ex + C |
| ∫ sin x dx = −cos x + C |
| ∫ cos x dx = sin x + C |
| ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx |
| ∫ cf dx = c ∫ f dx |
| ∫ f(kx + b) dx = F(kx + b)/k + C |
Pinta-ala integraalin avulla
- f(x) ≥ 0 pinta-ala on integraali
- f(x) ≤ 0 pinta-ala on integraalin vastaluku
Jos funktio vaihtaa merkkiä välillä, väli jaetaan nollakohdista osiin, ja osien pinta-alat lasketaan erikseen. Esimerkiksi sin x välillä 0 … 2π: integraali on 0, mutta pinta-ala on 4.
Napakoordinaatit
(r, θ)
Piste annetaan etäisyydellä r origosta ja kulmalla θ, joka mitataan positiivisesta x-akselista vastapäivään. Napakäyrä r = r(θ) kertoo, kuinka kaukana piste on kussakin suunnassa.
Muunnos karteesisiin
x = r cos θ, y = r sin θ
Takaisin: r = √(x2 + y2) ja tan θ = y/x. Tangentti ei kerro neljännestä, joten kulma päätellään myös merkeistä x ja y.
Asteet ja radiaanit
180° = π rad
- 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2
- kulma radiaaneina = kulma asteina · π/180
- koko kierros on 360° = 2π
Negatiivinen säde
(−r, θ) = (r, θ + π)
Jos säde on negatiivinen, piste piirretään kulman suunnan vastaiselle puolelle. Siksi käyrä voi kulkea origon läpi ja jatkua sen toiselle puolelle.
Tunnettuja käyriä
- r = a ympyrä
- r = a sin θ ympyrä origon kautta
- r = a(1 + cos θ) kardioidi
- r = a cos kθ ruusu: k terälehteä, kun k on pariton, ja 2k, kun parillinen
- r = aθ Arkhimedeen spiraali
- r = a ebθ logaritminen spiraali
- r = a sec θ suora x = a
Pinta-ala ja pituus
A = ½ ∫ r2 dθ
Sektorin pinta-ala saadaan integroimalla. Käyrän pituus on L = ∫ √(r2 + r′2) dθ. Ympyrän sektorilla A = ½r2θ.
Symmetria
- r(−θ) = r(θ): symmetrinen x-akselin suhteen
- r(π − θ) = r(θ): symmetrinen y-akselin suhteen
- r(θ + 2π) = r(θ): käyrä toistuu yhden kierroksen jälkeen
Yhtälön ratkaisu
f(x) = g(x)
Ratkaisu on luku, jolla yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret. Kuvaajissa ratkaisut ovat leikkauspisteiden x-koordinaatit. Ratkaisun voi aina tarkistaa sijoittamalla: jos puolet ovat yhtä suuret, luku on ratkaisu.
Samanarvoiset muunnokset
- lisää tai vähennä sama luku molemmilla puolilla
- kerro tai jaa molemmat puolet samalla nollasta eroavalla luvulla
- sievennä kumpaakin puolta erikseen
Nämä muunnokset eivät muuta ratkaisuja. Muita muunnoksia, kuten neliöintiä tai nimittäjällä kertomista, käytettäessä ratkaisut pitää tarkistaa.
Ensimmäisen asteen yhtälö
ax + b = 0 ⇒ x = −b/a
Siirrä tuntemattomat toiselle puolelle ja luvut toiselle, ja jaa kertoimella. Kuvaajat ovat suoria, joten leikkauspisteitä on yksi, ei yhtään (samansuuntaiset) tai ääretön määrä (sama suora).
Toisen asteen yhtälö
ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b ± √(b2 − 4ac)2a
- D > 0 kaksi ratkaisua
- D = 0 yksi ratkaisu (kaksoisjuuri)
- D < 0 ei reaalisia ratkaisuja
Diskriminantti on D = b2 − 4ac. Jos b = 0 tai c = 0, ratkaisukaavaa ei tarvita.
Tulon nollasääntö
ab = 0 ⇒ a = 0 tai b = 0
Tulo on nolla vain, jos jokin tekijä on nolla. Tekijöihin jaettu yhtälö (x − 1)(x + 2) = 0 ratkeaa heti: x = 1 tai x = −2. Oikean puolen täytyy olla nolla.
Murtoluku- ja juuriyhtälö
- Määrittelyehto: nimittäjä ≠ 0, neliöjuuren alla ≥ 0
- Murtolauseke: kerro yhteisellä nimittäjällä
- Juuri: eristä juuri ja korota toiseen potenssiin
- Tarkista aina ratkaisut: väärä juuri ei toteuta alkuperäistä yhtälöä
Eksponentti- ja logaritmiyhtälö
ax = c ⇒ x = ln c / ln a
Eksponentissa olevan tuntemattoman saa esiin logaritmilla. Käänteisesti ln x = c antaa x = ec. Itseisarvoyhtälö |u| = c jakautuu tapauksiin u = c ja u = −c.
Epäyhtälö
- Ratkaise ensin vastaava yhtälö: ratkaisut ovat reunat
- Tutki jokaiselta väliltä yksi testipiste
- Kerrottaessa tai jaettaessa negatiivisella luvulla epäyhtälön suunta kääntyy: −2x < 6 ⇒ x > −3
- Merkit < ja > jättävät reunan pois, ≤ ja ≥ ottavat sen mukaan
Funktio ja kuvaaja
x ↦ f(x)
Funktio liittää jokaiseen määrittelyjoukon lukuun x täsmälleen yhden arvon f(x). Kuvaaja muodostuu kaikista pisteistä (x, f(x)). Määrittelyjoukko kertoo sallitut muuttujan arvot, arvojoukko saadut arvot.
Nollakohdat ja merkki
f(x) = 0
Nollakohdassa kuvaaja leikkaa tai sivuaa x-akselia. Nollakohdat saadaan ratkaisemalla yhtälö f(x) = 0. Funktion merkki voi vaihtua vain nollakohdassa tai kohdassa, jossa funktio ei ole määritelty.
Kulku ja ääriarvot
- kasvava: arvo suurenee, kun x kasvaa
- vähenevä: arvo pienenee, kun x kasvaa
Paikallisessa maksimissa kuvaaja kääntyy nousevasta laskevaksi ja minimissä laskevasta nousevaksi. Ääriarvot löytyvät tarkasti derivaatan nollakohdista.
Kuvaajan muunnokset
y = a · f(b(x − c)) + d
- a venyttää pystysuunnassa (negatiivinen peilaa x-akselin suhteen)
- b skaalaa vaakasuunnassa kertoimella 1/b: kun |b| > 1, kuvaaja kapenee (negatiivinen peilaa y-akselin suhteen)
- c siirtää oikealle (negatiivinen vasemmalle)
- d siirtää ylös (negatiivinen alas)
Parillinen ja pariton
- f(−x) = f(x) parillinen, symmetrinen y-akselin suhteen
- f(−x) = −f(x) pariton, symmetrinen origon suhteen
Esimerkiksi x2, |x| ja cos x ovat parillisia, x3, 1/x ja sin x parittomia. Useimmat funktiot eivät ole kumpaakaan.
Asymptootit
- x = c pystysuora: arvot kasvavat tai vähenevät rajatta, kun x → c
- y = L vaakasuora: arvot lähestyvät lukua L, kun x → ±∞
Rationaalifunktion pystysuora asymptootti on yleensä nimittäjän nollakohdassa. Eksponenttifunktiolla 2x vaakasuora asymptootti on x-akseli.
Derivaatan määritelmä
f′(a) = limh→0 f(a + h) − f(a)h
Erotusosamäärä on sekantin kulmakerroin. Kun h lähestyy nollaa, piste Q liukuu kohti pistettä P, sekantti kääntyy tangentiksi ja erotusosamäärä lähestyy derivaattaa.
Derivaatta ja tangentti
Derivaatta f′(a) on käyrälle pisteeseen (a, f(a)) piirretyn tangentin kulmakerroin. Se on funktion hetkellinen muutosnopeus.
y − f(a) = f′(a)(x − a)
Kulmakerroin on k = tan α, missä α on tangentin ja x-akselin välinen kulma.
Derivaatan merkki ja kulku
- f′(x) > 0 funktio on kasvava
- f′(x) < 0 funktio on vähenevä
- f′(x) = 0 tangentti on vaakasuora
Jos derivaatan merkki vaihtuu nollakohdassa, siinä on ääriarvo: + → − maksimi, − → + minimi. Jos merkki ei vaihdu, kohta on terassikohta.
Derivointisääntöjä
| D c = 0 | D xn = nxn−1 |
| D ex = ex | D ln x = 1/x |
| D sin x = cos x | D cos x = −sin x |
| D [f + g] = f′ + g′ D [cf] = cf′ | |
| D [fg] = f′g + fg′ | |
| D f(g(x)) = f′(g(x))·g′(x) | |
Asenna sovellukseksi
Asennettuna Calcuralab aukeaa omana sovelluksenaan koko näytölle ja toimii myös ilman verkkoyhteyttä.
Napauta selaimen Jaa-painiketta ja valitse Lisää Koti-valikkoon.